Normalerweise rechnen wir im Dezimalsystem und verwenden dabei die zehn arabischen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.
Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab. Im Dezimalsystem hat die
1. Stelle von rechts den Stellenwert 100 = 1 (Einer).
2. Stelle von rechts den Stellenwert 101 = 10 (Zehner).
3. Stelle von rechts den Stellenwert 102 = 100 (Hunderter).
4. Stelle von rechts den Stellenwert 103 = 1000 (Tausender).
...
n. Stelle von rechts den Stellenwert 10n-1.
Die Basis 10 ergibt sich durch die Anzahl der verwendeten Ziffern.
Beispiel:
Die Dezimalzahl 234 kann auch wie folgt geschrieben werden
2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100 = 2 * 100 + 3 * 10 + 4 * 1 = 234
Binärsystem (2er-System)
Das System zur Basis 2 (Binärsystem) kommt nur mit den beiden Ziffern 0 und 1 aus.
Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab. Im Binärsystem hat die
1. Stelle von rechts den Stellenwert 20 = 1.
2. Stelle von rechts den Stellenwert 21 = 2.
3. Stelle von rechts den Stellenwert 22 = 4.
4. Stelle von rechts den Stellenwert 23 = 8.
...
n. Stelle von rechts den Stellenwert 2n-1.
Die Basis 2 ergibt sich durch die Anzahl der verwendeten Ziffern.
Beispiel einer Umwandlung nach der Multiplikationsmethode:
Die Binärzahl 10011111(2) entspricht der Dezimalzahl
1 * 27 + 0 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 159
Die tiefergestellte 2 in Klammern bedeutet, dass die vorgestellte Zahl eine Zahl im 2er-System ist.
Jede einzelne Stelle nennt sich im Binärsystem Bit (Binary Digit).
Acht Bits hintereinander aufgeschrieben sind ein Byte. Die Binärzahl 10011111(2) ist also ein Byte.
Hexadezimalsystem (16er-System)
Das System zur Basis 16 (Hexadezimalsystem) benötigt 16 Ziffern:
Dezimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Hexadezimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab. Im Hexadezimalsystem hat die
1. Stelle von rechts den Stellenwert 160 = 1.
2. Stelle von rechts den Stellenwert 161 = 16.
3. Stelle von rechts den Stellenwert 162 = 256.
4. Stelle von rechts den Stellenwert 163 = 4096.
...
n. Stelle von rechts den Stellenwert 16n-1.
Die Basis 16 ergibt sich durch die Anzahl der verwendeten Ziffern.
Beispiel einer Umwandlung nach der Multiplikationsmethode:
Die Hexadezimalzahl 3FA(16) entspricht der Dezimalzahl
3 * 162 + 15 * 161 + 10 * 160 = 1018
Die tiefergestellte 16 in Klammern bedeutet, dass die vorgestellte Zahl eine Zahl im 16er-System ist.
Multiplikationsmethode
Für die Umrechnung von einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalsystem brauchst du die sogenannte
Multiplikationsmethode, die oben schon für jedes Zahlensystem erläutert wurde.
Zahlensystem:
Zahl im gewählten Zahlensystem:
Ergebnis
Aufgabe 1)
Wandle folgende Binärzahlen auf einem Zettel in Dezimalzahlen um und kontrolliere die Umwandlung.
a) 01100110, b) 10011, c) 10, d) 11010111001
Aufgabe 2)
Wandle folgende Hexadezimalzahlen auf einem Zettel in Dezimalzahlen um und kontrolliere
dann die Umwandlung.
a) 4C2A, b) FF, c) ABBA, d) 1234
Aufgabe 3)
Wandle folgende Oktalzahlen auf einem Zettel in Dezimalzahlen um und kontrolliere
dann die Umwandlung.
a) 123, b) 77, c) 7012, d) 312
Divisionsmethode
Für die Umrechnung vom Dezimalsystem in ein beliebiges Zahlensystem brauchst du die sogenannte
Divisionsmethode, die die Modulo-Operation verwendet.
Dezimalzahl:
Zahlensystem:
Ergebnis
Das Vorgehen wird in diesem Video vorgeführt:
Aufgabe 4)
Wandle folgende Dezimalzahlen auf einem Zettel in Binär-, Oktal- und Hexadezimalzahlen um
und kontrolliere die Umwandlung.
a) 255, b) 123, c) 15, d) 1110, e) 9353
Aufgabe 5)
Wieso kann mit dem 36er-System aus jedem Text eindeutig genau eine Zahl ermittelt werden?